答案 自主梳理
1．一定顺序排列 每一个数 定义域为N*(或它的子集)a1，a2，a3，…，an，… n 2.第n项 n 用一个公式 3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法 4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < ＝ 5.S1 Sn－Sn－1
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1．C 2.C 3.C 4.C 15. n课堂活动区
例1 解题导引 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明．
2×22×32×42×52
解 (1)原数列为2，2，2，2，2，…，
2－14－16－18－110－1∴an＝
2n2n
＝.
(2n)2－14n2－1
1491625
(2)原数列为，－，，－，，…，
22222(－1)n1·n2
∴an＝.
2
变式迁移1 解 (1)∵a1＝3＝21＋1， a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…， ∴an＝2n＋1.
(2)将数列中各项统一成分母为2的分数，得 1491625
，，，，，…， 22222
观察知，各项的分子是对应项数的平方， n2
∴数列通项公式是an＝.
2
＋
(3)将数列各项统一成f(n)的形式得 2，5，8，11，…；
观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是an＝3n－1.
(4)从奇数项，偶数项角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作数列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…对应项相加之和的一半组成的数列，也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示．
1，n＝1，3，5，…，
所以an＝
0，n＝2，4，6，…，
1＋(－1)n1
或an＝ (n∈N*)，
2
nπnπ
sin 或an＝sin2 (n∈N*)， 或an＝22n－1
或an＝cos π (n∈N*)．
2
例2 解题导引 利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法： (1)累加法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的差的一个关系式，我们可依次写
出前n项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n－1个式子相加，整理求出数列的通项公式．
(2)累积法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的商的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n－1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．
(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．
解 (1)当n＝1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，
将其相加，
得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)． (1＋n－1)(n－1)n(n－1)
∴an＝a1＋＝2＋.
22anan－1a3a2
(2)方法一 an＝··…···a1
a2a1an－1an－21n－11n－212·11 ＝··…·2222＋
11＋2＋…＋(n－1)1n(n－1)＝＝2， 221n(n－1)∴an＝22. 方法二 由2n1an＝an－1， 1n－1得an＝2an－1. 1n－1∴an＝2an－1 1n－11n－2＝2·2an－2 1n－11n－2
11a1 ＝··…·2221(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋11n(n－1)
＝＝2 22
变式迁移2 解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴
an＋1＋1
＝3， an＋1
－
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，
∴an＋1＝2·3n1，∴an＝2·3n1－1. an＋1
(2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1.
an∴
an－1an
＝n，＝n－1， an－1an－2
－
－
…… a3
＝3， a2
a2
＝2， a1a1＝1.
累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！. 故an＝n！.
11＋， (3)∵an＋1＝an＋lnn1n＋11＋＝ln ∴an＋1－an＝ln. nn∴an－an－1＝ln
n
， n－1n－1
， n－2
an－1－an－2＝ln ……
2
a2－a1＝ln ，
1累加可得，an－a1＝ln
n－1n2＋ln ＋…＋ln
1n－1n－2
＝ln n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n.
又a1＝2，∴an＝ln n＋2.
例3 解题导引 an与Sn的关系式an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，求an时切勿漏掉n＝1，
即a1＝S1的情况．一般地，当a1＝S1适合an＝Sn－Sn－1时，则需统一“合写”．当a1＝S1
S1， n＝1，
不适合an＝Sn－Sn－1时，则通项公式应分段表示，即an＝
Sn－Sn－1，n≥2.
解 当n＝1时，
a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5； 又n＝1时，an＝4×1－5＝－1≠a1，
0， n＝1，
∴an＝
4n－5， n≥2.
变式迁移3 解 (1)a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n1＋b)＝2·3n1. 当b＝－1时，a1适合此等式； 当b≠－1时，a1不适合此等式． ∴当b＝－1时，an＝2·3n1；
－
－
－
3＋b (n＝1)
当b≠－1时，an＝n－1.
2·3 (n≥2)
(2)由2Sn＝an＋1，得Sn＝当n＝1时，a1＝S1＝
an＋12
2，
a1＋12
2，得a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝
an＋12an－1＋122－2，
整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵数列{an}各项为正，∴an＋an－1>0. ∴an－an－1－2＝0.
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列． ∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1. 课后练习区
1．A 2.A 3.A 4.D 5.B
2 (n＝1)n2－n＋63
6. 7. 8. 722n－1 (n≥2，n∈N*)
123
9．解 (1)∵a1＝1＋，a2＝2＋，a3＝3＋，…，
234
n
∴an＝n＋(n∈N*)．…………………………………………………………………(6分)
n＋12－12＋12－1
(2)∵a1＝－，a2＝，a3＝－，
1232＋1
a4＝，…，
4
2＋(－1)n
∴an＝(－1)·(n∈N*)．………………………………………………………(12分)
n
n
10．解 (1)由题意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2. 将上述各式等号两边累加得， an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，
n(n＋1)
即an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝，
2故an＝分)
ann－1an－1n－2a32a21
(2)由题意得，＝，＝，…，＝，＝.
na23a12an－1an－2n－1
an11
将上述各式累乘得，＝，故an＝.……………………………………………………(8
a1nn分)
(3)由an＝2an－1＋1， 得an＋1＝2(an－1＋1)，
an＋1
又a1＋1＝2≠0，所以＝2，
an－1＋1
即数列{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.…………………………………………………………(12分) 11．(1)解 a1＝S1＝4.……………………………………………………………………(1分) 对于n≥2有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也适合，
∴{an}的通项公式an＝4n.………………………………………………………………(3分) 将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.………………………………(4分) (求bn方法一)对于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1， Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，
1－
∴bn＝bn－1，bn＝21n.……………………………………………………………………(6
2分)
(求bn方法二)对于n≥2，由Tn＝2－bn得 Tn＝2－(Tn－Tn－1)，
1
2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)，
2Tn－2＝21n(T1－2)＝－21n， Tn＝2－21n，
bn＝Tn－Tn－1＝(2－21n)－(2－22n)＝21n.
－
－
－
－－
－
n(n＋1)
.……………………………………………………………………………(42
b1＝1也适合．……………………………………………………………………………(6分) 综上，{bn}的通项公式bn＝21n.…………………………………………………………(8分)
25n，………………………………………………(10(2)证明 方法一 由cn＝a2n·bn＝n2
－
－
分)
得
cn＋1112
＝1＋.………………………………………………………………………(12分) cn2n
14
当且仅当n≥3时，1＋≤<2，
n3∴
cn＋11－
<·(2)2＝1，又cn＝n2·25n>0， cn2
即cn＋1 － 得cn＋1－cn＝24n[(n＋1)2－2n2] ＝24n[－(n－1)2＋2]．…………………………………………………………………(13分) 当且仅当n≥3时，cn＋1－cn <0，即cn＋1< cn.…………………………………………(14分) － － 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容