第1讲 层次分析法

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP法）是美国运筹学家沙旦（T L Saaty）于20世纪70年代提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析法，其主要特点是将决策者的经验判断给予量化，特别适用于那些完全用定量进行分析的复杂系统问题，如资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及决策预报等.

实例，某人节假日出行选择旅游景点，考虑费用、景色、居住、饮食、交通等因素，几个待选的旅游景点是杭州、泰山、承德.问题是怎样综合考虑各因素的重要性，从而确定理想的景点. 第一步 构造层次结构模型

在对复杂系统的决策问题所涉及的各因素进行分析的基础上，可以建立层次结构模型.层次结构模型反映了复杂系统的决策问题所涉及的各因素之间相互连接关系.本例构造如下的层次结构模型：

目标层Z 准则层C

杭州P1 泰山P2 承德P3 费用C1 景色C2 居住C3 饮食C4 交通C5 选择旅游景点 措施层P

层次结构模型中的层次分析法一般可以分为三类：

最高层，它是分析问题的预定目标或理想结果，又称目标层；中间层，包括为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干层次组成，又称准则层；最低层，它是为实现目标而供选择的各种措施、决策方

案，又称为措施层. 第二步 构造判断矩阵

理论上，假设各因素X1,X2,,Xn关于目标Z的相对重要性排序为

1,2,,n，则对于判断矩阵A(aij)nn，有

aij即

i (i1,2,,n;j1,2,,n)， （1） j112 A1n11222nn2n1n2 （2） n 判断矩阵A(aij)nn满足下面两个条件： 1°aij0，aji阵.

2°aijajkaik，(i，j，k1，2，，n).由此可称A为一致性矩阵.

11211 A,,,n12n  （3）1，aii1，(i，j1，2，，n).由此可称A为正互反矩aij记w(1,2,,n)T，并称之为排序向量，则有

111Aww,,,n12wnw （4） 这表明w为判断矩阵A关于特征值n的特征向量，也就是说，要找的排序向量w即为判断矩阵A的关于特征值n的特征向量.由此得出

层次分析法的基本原理：求出判断矩阵A的关于特征值n的特征向量，得到各因素关于目标的相对重要性的排序结果.为比较起来方便，常把求出的特征向量进行归一化处理，即

w1w （5）

12n习惯上仍记为w，又称为权向量，反映各因素在目标中所占的比重.

如果矩阵A满足一致性条件，即A由（3）式完全确定，则n一定是A的特征值，此时A的秩为1，所以A的其它n1个特征值都是零.

实际应用中，判断矩阵并不全部满足上述两个条件，这是因为判断矩阵中的元素是人们主观判断的量化结果，而由于人们对复杂事物认识的多样性以及可能产生的片面性，理论与实际的误差是可能产生的.实际处理时，人们对判断矩阵的一致性要求到一定的满意程度即可.这里不介绍判断矩阵一致性满意程度的检验方法.

实际计算时，往往求出A的最大的正特征值所对应的特征向量，再进行归一化处理，认为得到的就是权向量.

判断矩阵的元素是人们对两个因素之间关于目标的相对重要性进行比较的结果.在决策时，人们是根据因素的重要性而作出选择的.两个因素之间关于目标的相对重要性可以根据沙旦引用的数字1~9标度法，对因素间进行两两比较得到，下面给出前面示例中某个人的初步判断结果：

11217判断矩阵ZC： 151521141313741225312115312 11上面矩阵的(2，3)元等于4，含义是对于选择旅游景点(Z)来说，景色反映的是某人的一种(C2)与居住条件(C3)之间重要程度的比值是4:1，感觉或认识.

111581判断矩阵C1P： 51

38311上面矩阵的(1，含义是对于费用(C1)来说，P1与P3的优劣程3)元等于，

8度的比值是1:8，也就是说选择承德(P3)更节俭.这种比值是可以计算的，例如去承德花费100元，去杭州花费800元.

类似地，给出：

11 判断矩阵C2P： 215211252 111判断矩阵C3P： 131313 11311判断矩阵C4P： 3143411

1111判断矩阵C5P： 1144141 41第三步 相邻层次间各因素关于目标相对重要性排序

根据第二步中的理论和方法，经计算，前面示例中相邻层次间的排序结果如下：

90.26,50.05,80.09,90.09)9T ZC： wz(0.47,70.27,20.66)1T wc1(0.06,C1P： wc2(0.595,0.276,0.128)T C2P：0.42,90.14)3T C3P： wc3(0.42,9 wc4(0.634,0.192,0.174)T C4P：C5P： wc5(0.167,0.167,0.667)T

第四步 层次总排序

计算同一层次（一般为措施层）对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值，从而依此作出决策，这一过程是由最高层到最低层逐层进行的.结合前面示例，利用矩阵的形式表示这一过程.将P层关于

C层各因素的排序向量按顺序组成矩阵

CP(wc,wc,wc,wc,wc) （6）

12345则P层关于目标层Z的总排序为

wpCpwz （7）

计算得wp(0.294,0.264,0.442)

从排序向量上看，此人应该选择去承德旅游较为理想.当然，这个结论只是针对此人的，反映了此人的意愿.如果对于判断矩阵

(ZC)有不同的选择，例如另外一个人突出景色的重要性，显然

应该去杭州旅游.