行列式与矩阵求逆练习

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一、计算下列行列式：

1031002041．199200395

301300600解：原式120051001252000

c32c2130001302412112．20110299

c1c231004314211211211解：原式2001100210011211002114214214212111213421二、确定下列排列的逆序数，并指出是偶排列还是奇排列？ 1． 53214

解：逆序数t=7，为奇排列。

2． 18273645

解：逆序数t=12，为偶排列。

三、在6阶行列式中,a21a33a42a56a14a65,号？ 解：

a32a43a14a51a66a25这两项应带有什么符

a21a33a42a56a14a65a14a21a33a42a56a65,逆序数为5，带负号；a32a43a14a51a66a25a14a25a32a43a51a66，逆序数为8，带正号。四、利用行列式的定义证明：

6

5432x0432x00

32x0002x0000x000000000066x5t解：由定义，左式（1）a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5a6j6t（1）a15a24a33a42a51a66

6x5其中a15x，a24x，a33x，a42x，a51x，a666t为排列543216的逆序数，t10.五、利用行列式的性质计算下列各行列式：

23 1．

541214 271225r2r112解：原式r32r111r4r12195312057961212606按第3列展开13（1）11303

21000172522．023100414002350

5312按第5列展开231250解：原式（21）04140235按第1列展开

231066r22r310414100514r1r32352357

206115141080

x11x13．x1x11xx111

x111111x1011x1解：原式x11x11c1c1x111x1112x0xx11111110111按第1列展开11x1rr2r111x1x21x113r1x20xx11100xx2xx0xx4六、计算下列n阶行列式：

ab0000ab001．

00a00

000abb000aab00b0000ab0解：原式按第1列展开0aab（1）n10a000ab000a00aaan1b（1）n1bn1an（1）n1bn

8

000b

ab2．Dab2nba

baab00ab按第1ab解：原式列展开abab（1）12nabbabab0aba按行（列）展开a2D2n2n2b2D2n2（a2b2）D2n2（a2b）解：选第1行、第2n行的非零二阶子式Mabba，M的代数余子式AD2（n1）由拉普拉斯定理Da2b2）Dn2nMA（2（n1）（a2b2）七、证明

2100012100 D01200nn10002100012

10001210解：D按第1列展开n2D12n1（1）0120

000122Dn1Dn2 9

b0

则，DnDn1Dn1Dn221D23，D122

12DnDn1D2D11DnD1（n1）1n1x1x2x30八、问、取何值时，齐次方程组x1x2x30 有非零解？

x2xx0231解：设D1111110rr110021r3r211101（1）0 当0或1，齐次线性方程组有非零解。

九、求下列矩阵的逆矩阵： 1．A1132 4211 解：A322210

122．B1111312211解：B12210101130023．C0000000521 21000000

1201 10

A1解：CA23，A11，A1411131A341414A22，A23414000C1121211；A3，A301012

100041000410002001200011

十、求解下列矩阵方程：

01．101000100X10100101210140231 0101014312010解：X1000011200010143102010010000112001210134102

00011001 012．00430221

2X33 11

142121424解：X392123032101100333900113131421001其中032010r311011032010003001r1r2031001003100142r3910014222r30121r239312r130013r2301001390010030010013

3十一、设A42110， AB=A+2B, 求B. 123解：由ABA2BA2E）BAB（A2E）1A2231110423143423311015311021211231641232223100rr110010r22r11011001012rr131121001223100043121001011 12

8696129010120011（

r3r2110010r4r10014332十十二、证明下列等式： 011011010153r2r3rr404312011r32001161．(A1B1)1B(AB)1A

1证明：（A1B1）B（AB）A1（A1BE）（AB）A1（A1BA1A）（AB）AA（AB）（AB）AA1AE11（A1B1）B（AB）A11

n12．若A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，证明A*A

解：A11A1*AA1*1AnA*， AAn1A1A*A

O十三、设n阶方阵A及s阶方阵B都可逆，求分块矩阵BX11X12OA解：设的逆矩阵是XBO21X22OAX11X12AX21AX22E1有BXOXXBXBO21221211AX21E1，A可逆，X21A1A的逆矩阵. OO，得E2

AX22O，左乘A，X22OBX11O，左乘B1，X11OBX12E2，X12B11

13

OABO1O1AB1 O 14