动点问题
内容 全等三角形 基本要求 了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系 了解两个三角形相似的概念 略高要求 掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题 较高要求 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题 相似三角形 一 动点问题
动点问题常用知识点：相似三角形、全等三角形、勾股定理、方程
动点问题解题方法：①找出动点，标出动点的运动方向，标出动点已走的路程和未走的路程，
②找到相似三角形，标注出其他线段长度，利用题中的等量关系建立方程求解
【例1】 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF
＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0． （1）当t＝2时，PH=_____cm ，DG =_____cm； （2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由； （3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程； （4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．
（2011年西城二模试题）
ADAGPHCEFBCB（备用图）
【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC－CB－BA运动，点
P在AC，CB，BA边上运动的点速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l从与AC重合的位置开
始，以每秒
4个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边3交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．
（1）当t = 5秒时，点P走过的路径长为________；当t =______秒时，点P与点E重合； （2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，
点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；
（3）当点P在折线AC－CB－BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q．在点P与
直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值．
（2012年西城二模试题）
CPMAFNECBAB
【例3】 已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满
足
PQAD＝（如图1所示）． PCAB（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长； （2）在图1中，联结AP．当AD＝
S△APQ3Q之间的距离为x，，且点Q在线段AB上时，设点B、
S△PBC2＝y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式； （3）当AD ＜ AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．
（09年上海模式试题）
A P D A
P P Q B 图1
D
A
D
C B (Q) ）
C
图2
B
图3
Q C
【例4】 已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两
动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：菱形ABCD的边长是________、面积是________、高BE的长是________； （2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位，当点Q在线段BA上时，求△APQ
的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有
相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．
（09年浙江中考试题）
y D E A O C x B
【例5】 如图，在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA＝123cm，点B在y轴的
正半轴上，OB＝12cm，动点P从点O开始沿OA以23cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s． （1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O′ 与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′ 相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求S的最小值及相应的t值． （4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
（10年云南省中考题）
y y B R O′ O M Q O P A x 备用图 A x B DC，∠DAB＝90°【例6】 如图，直角梯形ABCD中，AB∥，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单
位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向AD，与线段CD的交点为点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥E，与折线A－C－B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）． （1）当t＝0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值； （3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究
不是，请说明理由．
D E P C
D C
D C
CQ是否为定值，若是，试求这个定值；若RQQ A M l
B A （备用图1）
B A （备用图2）
B
【例7】 如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为
（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O－C－B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S． （1）点C的坐标为_____________，直线l的解析式为_____________；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围； （3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
Q两点的运动，（4）随着P、当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试
探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
y C M O P A l B Q x
【例8】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，点
P从点D出发，沿折线DE－EF－FC－CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发，AB，沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动．过点Q作射线QK⊥交折线BC－CA于点G．点P、Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）射线QK能否将四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理
由；
（2）当t为何值时，点P恰好落在射线QK上？ （3）连接PG，当PG∥
AB时，请直接写出t的值． C K D F P
G A E Q B
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