试卷（9月份）
一、选择题（共8小题，共24分.） 1．已知α为锐角，且sinα＝A．15°
，则α的度数为（ ）
C．45°
D．60°
的
B．30°
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD＝4，DB＝2，则值为（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
4．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线解析式为（ ） A．y＝2（x﹣3）2
B．y＝2（x+3）2
C．y＝2x2﹣3
D．y＝2x2+3
5．如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是（ ）米．
A．2sin50° B．2cos50° C． D．
6．已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A．1
B．2
C．﹣2
D．﹣1
7．如图，在6×4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，则∠ACB的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题：（本大题共8小题，共24分，请将答案填写在答题卡上） 9．如果＝，那么
的值为 ．
10．已知A（﹣4，y1），B（1，y2）为二次函数y＝（x+2）2图象上的两点，则y1 y2
（填“＞，＜或＝”）．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝4，则AB＝ ．
12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，AB＝2m，BC＝18m．则建筑物CD的高 m．
13．请写出一个二次函数，使它满足条件：当x＝0时，y有最大值为3： ．
14．如图，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm．
15．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得
教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号）．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为 ．
三、解答题：（本大题共11小题，共102分） 17．（1）计算：（﹣1）2019﹣（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0． 18．先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中x＝﹣1．
，AB＝
+tan60°+（π﹣3.14）0；
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝1020．求∠A的度数．
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）． （1）△ABC的面积为 ；
（2）画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；
（3）以点A为位似中心，在网格内画出△AB2C2，使△AB2C2与△ABC位似，且位似比为3：1．
21．如图，两栋居民楼之间的距离CD＝30m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°．若小明家住在楼AC的4楼，此时他家是否会被遮挡住？请说明理由（参考数据：
≈1.732，
≈1.414）．
22．如图，已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣2x+b都经过点A（﹣2，6），点O为坐标原点，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点B． （1）求m、b的值；
（2）连接AO，点C是抛物线上一点（异于点A），且S△AOB＝S△COB，求点C的坐标．
23．某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）每件销售价为多少元时，每天的销售利润为125元？
24．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E． （1）求CD的长； （2）求AE的长．
25．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC＝ °，∠C＝ °； （2）求观测站B到码头A的距离（结果保留根号）．
26．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．
（1）如图1，在8×5的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个△ABC，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出2个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐四边形，并画出相应的四边形．
AB∥CD，AC平分∠DAB．（2）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝40°，∠B＝80°，试说明：AC是四边形ABCD的和谐线；
（3）已知，在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC＝2，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，直接写出CD的长 ．
27．如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（6，2），定点D的坐标为（9，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，P、Q两点同时运动，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒． （1）当t＝ 时，△PQR的边QR经过点B，当t＝ 时，点R落在边BC上；
（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；
0）（3）如图2，过定点E（4，作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN＝45°，直接写出t的值 ．
参考答案
一、选择题：（本大题共8小题，共24分.请将答案填涂在答题卡上） 1．已知α为锐角，且sinα＝A．15°
，则α的度数为（ ）
C．45°
D．60°
B．30°
【分析】根据特殊角的三角函数值即可解答． 解：因为sinα＝所以α＝45°， 故选：C．
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD＝4，DB＝2，则值为（ ）
的
，
A． B． C． D．2 ＝
，进而得出
的
【分析】首先根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，即可得出值．
解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
＝
，
∵AD＝4，DB＝2， ∴则
＝
＝
＝．
的值为．
故选：B．
3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan
∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．
解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m， ∴tan∠BAC＝解得，AC＝75， 故选：A．
4．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线解析式为（ ） A．y＝2（x﹣3）2
B．y＝2（x+3）2
C．y＝2x2﹣3
D．y＝2x2+3
，
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．
解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线解析式为y＝2x2+3． 故选：D．
5．如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是（ ）米．
A．2sin50° B．2cos50° C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 解：∵sinα＝
，
∴AD＝AC•sinα＝2sinα＝2sin50°（米）， 故选：A．
6．已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据根与系数的关系得出x1x2＝＝﹣2，即可得出另一根的值． 解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根， ∴x1x2＝＝﹣2， ∴1×x2＝﹣2，
则方程的另一个根是：﹣2， 故选：C．
7．如图，在6×4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，则∠ACB的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接格点B、D，利用勾股定理先计算BC的长，在Rt△BCD中，再求出∠ACB的正弦值．
解：如图所示，连接格点B、D． ∵BD＝2，CD＝1， ∴BC＝∴sin∠ACB＝＝＝
．
＝
．
故选：A．
8．如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α，设：AD＝BC＝a，在Rt△ADE中，cosα＝
，在Rt△BCE中，sinα＝
，由勾股定理可得a＝
，当x
＝6时，即EN＝3，则y＝MN＝ENsinα＝． 解：由图象可知：
AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α， 设：AD＝BC＝a，
在Rt△ADE中，cosα＝∴AD＝
，
，
在Rt△BCE中，sinα＝∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADE∽△ECB， ∴
＝
， ，
，
∴DE＝
又∵AD2+DE2＝AE2， ∴解得：a＝
，
，
当x＝6时，即：EN＝3，则y＝MN＝ENsinα＝． 故选：C．
二、填空题：（本大题共8小题，共24分，请将答案填写在答题卡上） 9．如果＝，那么
的值为
．
【分析】根据合比性质即可求解． 解：∵＝， ∴
＝
＝．
故答案为：．
10．已知A（﹣4，y1），B（1，y2）为二次函数y＝（x+2）2图象上的两点，则y1 ＜ y2
（填“＞，＜或＝”）．
【分析】求出二次函数的图象的对称轴，再根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 解：∵二次函数y＝（x+2）2，
∴该抛物线开口向上，且对称轴为x＝﹣2．
∵A（﹣4，y1），B（1，y2）在二次函数y＝（x+2）2的图象上，
点（﹣4，y1）横坐标离对称轴的距离小于点（1，y2）横坐标离对称轴的距离， ∴y1＜y2． 故答案为：＜．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝4，则AB＝ 10 ． 【分析】根据余弦的定义列式计算即可． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝∵cosA＝，AC＝4， ∴
＝，
，
解得：AB＝10， 故答案为：10．
12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，AB＝2m，BC＝18m．则建筑物CD的高 15 m．
【分析】直接利用已知得出△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质得出答案． 解：由题意可得：BE∥DC， 则△ABE∽△ACD， ∴
，
∵标杆BE高1.5m，AB＝2m，BC＝18m， ∴
，
解得：CD＝15． 故答案为：15．
13．请写出一个二次函数，使它满足条件：当x＝0时，y有最大值为3： y＝﹣x2+3 ． 【分析】根据题意，可知该函数的对称轴是直线x＝0，再根据当x＝0时，y有最大值为3，即可写出一个符合要求的函数解析式． 解：∵当x＝0时，二次函数取得最大值， ∴该函数的对称轴为x＝0， 又∵当x＝0时，y有最大值为3， ∴该函数的解析式可以为y＝﹣x2+3， 故答案为：y＝﹣x2+3．
14．如图，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于
cm．
【分析】根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即折痕的长．
解：如图，折痕为GH， 由勾股定理得：AB＝
＝10cm，
由折叠得：AG＝BG＝AB＝×10＝5cm，GH⊥AB， ∴∠AGH＝90°，
∵∠A＝∠A，∠AGH＝∠C＝90°， ∴△ACB∽△AGH， ∴
＝
， ， cm．
．
∴＝∴GH＝
故答案为：
15．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得
教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 （15+15
） 米（结果保留根号）．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案． 解：过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15故教学楼AC的高度是AC＝15答：教学楼AC的高度是（15
；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
米． ）米．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为 （﹣22017，22017
） ．
【分析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论． 解：由题意得， A1的坐标为（1，0）， A2的坐标为（1，
）， ），
A3的坐标为（﹣2，2
A4的坐标为（﹣8，0）， A5的坐标为（﹣8，﹣8A6的坐标为（16，﹣16A7的坐标为（64，0）， …
由上可知，A点的方位是每6个循环，
）， ），
与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n1，其纵坐标为0，
﹣
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n2，纵坐标为2n
﹣﹣
﹣2
， ，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n2，纵坐标为2n
﹣2
与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2
﹣﹣
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n2，纵坐标为﹣2n2
， ，
∵2019÷6＝336…3，
﹣
∴点A2019的方位与点A3的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n2＝﹣22017，纵坐
标为22017，
）．
故答案为：（﹣22017，22017
三、解答题：（本大题共11小题，共102分） 17．（1）计算：（﹣1）2019﹣（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】（1）原式利用算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值； （2）方程利用因式分解法求出解即可． 解：（1）原式＝﹣1﹣2＝﹣
；
+
+1
+tan60°+（π﹣3.14）0；
（2）∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， 则x﹣3＝0或x+1＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1． 18．先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中x＝﹣1．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 解：原式＝＝
，
＝﹣1．
，AB＝
•
当x＝﹣1时，原式＝
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝1020．求∠A的度数．
【分析】首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和∠BDC＝45°求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度数即可； 解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10∴BC＝BD•sin∠BDC＝10∵∠C＝90°，AB＝20 ∴sin∠A＝
＝
＝，
×
＝10
，
∴∠A＝30°．
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）． （1）△ABC的面积为 1.5 ；
（2）画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；
（3）以点A为位似中心，在网格内画出△AB2C2，使△AB2C2与△ABC位似，且位似比为3：1．
【分析】（1）割补法求解可得；
（2）将点A、B、C分别向左平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得； （3）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案． 解：（1）△ABC的面积为：2×2﹣
﹣
﹣
＝1.5，
故答案为：1.5；
（2）如图，△A1B1C1为所作； （3）如图，AB2C2为所作．
．
21．如图，两栋居民楼之间的距离CD＝30m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°．若小明家住在楼AC的4楼，此时他家是否会被遮挡住？请说明理由（参考数据：
≈1.732，
≈1.414）．
【分析】设太阳光线GB交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，解直角三角形求出BH≈17， 于是得到FC＝HD＝BD﹣BH≈13，可得此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第5层．解：他家会被遮挡住，
理由：设太阳光线GB交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，
由题意知，AC＝BD＝3×10＝30m，FH＝CD＝30m，∠BFH＝∠α＝30°， 在Rt△BFH中，tan∠BFH＝∴BH＝30×
＝10
，
≈10×1.7＝17（米），
∴FC＝HD＝BD﹣BH≈30﹣17＝13（米）， ∵
≈4.3，所以在四层的上面，即第五层，
答：他家会被遮挡住．
22．如图，已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣2x+b都经过点A（﹣2，6），点O为坐标原点，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点B． （1）求m、b的值；
（2）连接AO，点C是抛物线上一点（异于点A），且S△AOB＝S△COB，求点C的坐标．
【分析】（1）根据抛物线y＝mx2和直线y＝﹣2x+b都经过点A（﹣2，6），将A点坐标代入解析式即可求；
（2）根据直线y＝﹣2x+2与x轴交于点B，求出点B的坐标，进而求出S△AOB＝S△COB＝
3，进而求出点C的纵坐标，代入抛物线解析式可求．
解：（1）∵抛物线y＝mx2和直线y＝﹣2x+b都经过点A（﹣2，6）， ∴6＝（﹣2）2m，6＝﹣2×（﹣2）+b， ∴m＝，b＝2；
（2）令y＝0，即﹣2x+2＝0，解得x＝1， 点B的坐标为（1，0）， ∴OB＝1，
∴S△COB＝S△AOB＝×1×6＝3， ∵S△COB＝×1×yc， ∴点C的纵坐标为6， 当y＝6时，6＝x2， ∴x＝±2，
∵C是抛物线上一点（异于点A）， ∴C点的坐标为（2，6）．
23．某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）每件销售价为多少元时，每天的销售利润为125元？
【分析】（1）首先利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出答案； （2）根据已知表示出利润，进而解方程得出答案． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b， 把（10，30），（16，24）代入得：
，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）由题意可得：（﹣x+40）（x﹣10）＝125， 解得：x1＝15，x2＝35， 根据x的范围，只取x＝15．
答：每件销售价为15元时，每天的销售利润为125元．
24．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E． （1）求CD的长； （2）求AE的长．
【分析】（1）根据题意BD是∠ABC的平分线，可得∠ABE＝∠CBD，又因为CD∥AB，可得∠ABE＝∠BDC，通过等量代换，可知∠CBD＝∠BDC，以求得CD＝BC＝4； （2）由CD∥AB，可得△ABE∽△CDE，从而求出线段比例关系，求得AE＝2EC，因为CA＝AE+EC＝6，可求AE的长度． 解：（1）∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBD， ∵CD∥AB， ∴∠ABE＝∠BDC， ∴∠CBD＝∠BDC， ∴CD＝BC＝4， （2）∵CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE，
∴
∴AE＝2EC，
，
∵CA＝AE+EC＝6， ∴AE＝4．
25．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC＝ 30 °，∠C＝ 45 °； （2）求观测站B到码头A的距离（结果保留根号）．
【分析】（1）由题意得∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，再由三角形内角和定理即可得出∠C的度数；
（2）证出△BCP是等腰直角三角形，得出BP＝PC，再由锐角三角函数定义求出PA＝BP，然后求出BP的长，即可解决问题．
解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°， 故答案为：30，45；
（2）过B作BP⊥AC于P，如图所示： 则∠BPC＝∠BPA＝90°， ∵∠C＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形， ∴BP＝PC， ∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2PB，tan∠BAC＝∴PA＝
BP，
＝
，
∵PA+PC＝AC， ∴BP+
BP＝10海里，
﹣5）海里， ﹣10）海里，
﹣10）海里．
解得：BP＝（5∴AB＝2BP＝（10
即观测站B到码头A的距离为（10
26．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．
（1）如图1，在8×5的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个△ABC，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出2个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐四边形，并画出相应的四边形．
AB∥CD，AC平分∠DAB．（2）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝40°，∠B＝80°，试说明：AC是四边形ABCD的和谐线；
（3）已知，在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC＝2，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，直接写出CD的长 2
或2 ．
【分析】（1）根据和谐四边形的定义，作出图形即可． （2）证明DA＝DC，AC＝AB，即可．
（3）首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图3，图4两种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以得出结论．
【解答】（1）解：如图，四边形ABDC即为所求．
（2）证明：如图2中，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠DAB＝20°， ∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝20°， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴DA＝DC，
∵∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝180°﹣20°﹣80°＝80°， ∴∠ACB＝∠B， ∴AC＝AB，
∴AC是四边形ABCD的和谐线． （3）如图3，4，
∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形． ∵AB＝AD＝BC， 如图3，当AD＝AC时，
∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC， ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝60°． ∵∠BAD＝90°， ∴∠CAD＝30°， 过点C作CE⊥AD于E， ∴CE＝AC＝1， ∴AE＝
，
，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣∴CD＝
＝2
如图4，当AD＝CD时，CD＝2， 综上所述，满足条件的CD的长为2
或2．
27．如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（6，2），定点D的坐标为（9，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，P、Q两点同时运动，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒． （1）当t＝ 1 时，△PQR的边QR经过点B，当t＝
时，点R落在边BC上；
（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；
0）（3）如图2，过定点E（4，作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN＝45°，直接写出t的值
．
【分析】（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB＝AQ，由此列方程求出t即可，当R落在BC边上时，因为△PQR是等腰直角三角形，故PR＝AB，由此列出方程求解即可；
（2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按t的取值范围分段写出关系式即可； （3）首先判定四边形ABFE是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明MN＝EN+BN，设EM＝m，BN＝n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的关系式，由此等式列方程求出t的值即可．
解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形， ∴AB＝AQ， 即2＝9﹣6﹣t， 解得t＝1，
∴t＝1时，△PQR的边QR经过点B；
点R落在边BC上，则R纵坐标的长度和AB相同， ∵△PQR为等腰直角三角形， ∴PQ＝2AB＝2×2＝4， 即9﹣t﹣2t＝4， 解得t＝，
∴t＝时，点R落在边BC上； 故答案为：1，；
（2）①当0≤t≤1时，如图1所示，
设PR交BC于点G，
过点P作PH⊥BC于点H，则CH＝OP＝2t，GH＝PH＝2， ∴S＝S矩形OABC﹣S梯形OPGC＝6×2﹣（2t+2t+2）×2＝10﹣4t； ②当1＜t≤时，如图2所示，
设PR交BC于点C，RQ交BC、AB于点S、T，过点P作PH⊥BC于点H， 则CH＝OP＝2t，GH＝HP＝2，QD＝t，则AQ＝AT＝9﹣6﹣t＝3﹣t， ∴BT＝BS＝AB﹣AT＝2﹣（3﹣t）＝t﹣1，
2
∴S＝S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST＝6×2﹣﹣（2t+2t+2）×2﹣（t﹣1）＝﹣t2﹣3t+
；
③当＜t≤3时，如图3所示，
设RQ与AB交于点T，则AT＝AQ＝9﹣6﹣t＝3﹣t，PQ＝9﹣2t﹣t＝9﹣3t， ∴PR＝RQ＝
PQ＝
（9﹣3t），
[
2
]2﹣（3﹣t）（9﹣3t）＝t2﹣
∴S＝S△PQR﹣S△AQT＝PR2﹣AQ2＝t+ ；
综上，S与t的函数关系式为；
（3）∵E（4，0）， ∴AE＝AB＝2，
∴四边形ABFE是正方形，
如图4，将△AME绕A顺时针旋转90°，得到△ABM'，其中AE和AB重合， ∵∠MAN＝45°， ∴∠EAM+∠NAB＝45°， ∴∠BAM'+∠NAB＝45°， ∴∠MAN＝∠M'AN， 连接MN，
在△MAN和△M'AN中，
，
∴△MAN≌△M'AN（SAS）， ∴MN＝M'N＝M'B+BN， ∴MN＝EM+BN， 设EM＝m，BN＝n， 则FM＝2﹣m，FN＝2﹣n，
在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM2+FN2＝MN2， 即（2﹣m）2+（2﹣n）2＝（m+n）2， 整理得，mn+（m+n）﹣4＝0，① 延长NR交x轴于点S，则
m＝EM＝RS＝PQ＝×（9﹣3t）， ∵QS＝PQ＝×（9﹣3t），AQ＝3﹣t，
∴n＝BN＝AS＝QS﹣AQ＝×（9﹣3t）﹣（3﹣t）＝﹣， ∴m＝3n，
代入①式，化简得：3n2+4n﹣4＝0， 解得n＝或n＝﹣2（舍去）， ∴BN＝﹣＝， 解得t＝， 故答案为：．
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