二次函数之铅垂线问题

一、导入

问题1：表达横平竖直线段长的方法： 第一步：设坐标 利用所在函数表达式或坐标间关系 第二步：坐标相减 竖直线段：_______坐标相减，___________ 水平线段：_______坐标相减，___________

二、知识梳理

！

2、

*

铅垂线求面积步骤：

1、分清定点（A、B）和动点（P）,过动点（P）作y轴的平行线，交两定点（A、B）所确定的直线(AB)与一点(M)

2、求抛物线的解析式及两定点所确定的直线的解析式 3、根据解析式表示P、M的坐标，从而表示线段PM的长

4、表示

（下次课讲）

\\

类型一 （铅垂线表示线段的长度）

例题讲解

1.如图，直线与抛物线相交于，点P是线段AB上

异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，则求线段PC的最大值？

{

【变式训练】：

1.如图，直线

与抛物线

交于A，B两点，P是抛物线上的一个动点（不与A，B两点重

合），过点P作直线PQ⊥x轴，交直线y=x于点Q．设点P的横坐标为m，求当线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围？

23. (11分）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0）两点，直线y=－

3x+3与y轴交于点C，，4与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的

横坐标为m。

（1）求抛物线的解析式； （2）若PE =5EF,求m的值；

】

（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

yPCAEOFDBX类型二：（铅垂线表示三角形的面积）

/

，

，

．点P是直线AC下方抛

1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点

物线上的点（不与A，C重合），连接PA，PC，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，

S与m之间的函数关系式 当m为何值时，S有最大值？

】

【变式训练】：

1.如图，在平面直角坐标系中，顶点为的左侧），已知A点坐标为

的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C

．已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．求△PAC的

面积最大时点P的坐标和△PAC的最大面积分别为多少？

2.已知抛物线

经过

三点，如图，点P是第一象限内抛物

线上的一个动点，求四边形ABPC的面积最大值？

<

3.如图，一次函数与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线过A，B

两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为，求与n之间的函数关系式？

\\

|

类型三：（铅垂线表示点到直线的距离）（

-

【变式训练】：

23.(11分)如图，在平面直角坐标系中，直线y1x1与抛物线yax2bx3交于A、B两点，点A在2x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点C，作PD⊥AB于点D。

（1）求a、b的值； （2）设点P的横坐标为m.

① 用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

@

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在合适的m值，使这两个三角形的面积之比为

9:10若存在，直接写m的值；若不存在，说明理由。

y D A O@C B x P 第23题

~

,

类型四：（铅垂线表示三角形的周长）

1. 如图，四边形ABCD是矩形，A，B两点在x轴的正半轴上，C，D两点在抛物线（

），矩形ABCD的周长为，求与m的函数关系式？

上．设OA=m

2. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在

x轴上．点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为，点P的横坐标为m，求关于m的函数关系式？

，

【变式训练】：

23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y点A在x轴上，点B的横坐标为－8.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，．．交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.

…

133x与抛物线yx2bxc交于A、B两点，

442

|

类型四：（铅垂线表示平行四边形）

1.

：

2.

如图，抛物线与直线交于A(0，-3)，B(-4，-5)两点，点P为y轴左侧的抛物

线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交直线AB于点D．若以O，A，P，D为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标？

|

【变式训练】：

23.（11分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y1x2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标2为(3， ). 点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式；

《

72

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形请说明理由. （3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标. ．．．．

.

y P D C F C y D A O E B / A O B !

备用图

；

18年许昌一模

-

18年许昌二模

:

，

16年许昌一模

{

$

18年商丘一模

-

课后作业 1.如图，已知二次函数

的图象上一点A，其横坐标为-2，直线过点A并绕着点A旋转，与

抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标m满足点B的坐标？

>

，连接OA，OB，求当△AOB的面积最大时，

2.如图，抛物线

经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，

且AC=BC．在第三象限的抛物线上存在一点P，使得△PAB的面积为6，求点P的坐标？

、

3.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．M为抛物线上一动点，且

在第三象限，若存在点M使得

，求此时点M的横坐标？

4.如图，已知直线与抛物线交于A(-4，-2)，B(6，3)两点，抛物线与y轴的交点

为C．在抛物线上存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的

，求此时点P的坐标？

5.如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点分别为A(0，1)，B(2，0)，O(0，0)，

将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△COD．设点P是过C，D，B三点的抛物线上的一点，且在第一象限，若四边形PDCB的面积是△COD面积的4倍，求点P的坐标？

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=1，绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线

BO=3，将Rt△AOBAO经过A，B，C三点．设抛物线上一点P的

横坐标为m，连接PC，PB．若

，且存在△PBC，求△PBC的面积最大时m的值？