2021年中考数学复习-数式规律(解析版)

1．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（ ）

A．363 B．153 C．159 D．456 【答案】B；

【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153．故选B．

【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数．可以任意找一个3的倍数，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则可知T=153．

2．(1)有一列数（2）已知a11234,,,，…，那么依此规律，第7个数是______； 2510171112113114,a2,a3,a4123232343834541545615,, 524依据上述规律，则a99 ． 【答案】(1) －7100； （2）.

999950【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是－7. 5011100.

991001011009999（2）a99【点评】(1) 规律：(－1)•（2）规律：

nn（n为正整数）； n2111n1（n为正整数）. n(n1)(n2)n1n(n2)3．（1）先找规律，再填数：

1111111111111111,,,,122342125633078456............111则+_______.2011201220112012

ba(ab,a0)（2）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=，

ba(ab,a0)例如2★3=2=【答案】（1）

-3

1.计算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]= . 81；（2）1； 10061111【解析】（1）规律为：（n为正整数）. n1nn1n(n1)2（2） [2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=2×（-4）=1. 4.a是不为1的有理数，我们把

-4

2

11称为a的差倒数．如：2的差倒数是1，1．．．

121a的差倒数是

111．已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的

1(1)23差倒数，…，依此类推，则a2009 ．

【答案】因为a11a23，

111()31.3,a341134.4,a411., 143a5111()3.3,a64314.4,……..三个一循环，因此

a2009a23.11()43

15．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6

×7的两个示例．

（1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？

（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？

【答案】2，3 【解析】

（1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；

（2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b 两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，

未伸出的手指数的积为（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b

根据题中的规则，a×b的结果为10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b） 而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b 所以用题中给出的规则计算a×b是正确的．

6．将正偶数按下表排列：

第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2 第2行 4 6 第3行 8 10 12 第4行 14 16 18 20 ……

根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________． 【答案】第45行第13列

【解析】观察数列2，4，6，8，10，...每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个.

每行数字的个数按照1，2，3，4，5，...，n 递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数

n(n1). 2(n1)n如果2006在第n行，那么1003

2(n1)n设1003,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。

244到第44行（含44行）共有数字（44+1）×=990个；

245到第45行（含45行）共有数字（45+1）×=1035个；

22006是第1003个，在45行13列.

7．在数学活动中，小明为了求计如图（1）所示的几何图形．

111123422221的值（结果用n表示），设n211111234n的值为_______． 2222211111（2）请你利用图（2）再设计一个能求234n的值的几何图形．

22222（1）请你利用这个几何图形求

【答案】 （1）11 2n(2)

8.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题

A51A41A31A2S2S11A1

1A61112,S1222213,S22

23314,S322S4S3S5O（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA10的长；

（3）求出S1+ S2+ S3+…+ S10的值. 【答案】

（1）由题意可知，图形满足勾股定理，

2

2

2

2

n21n1,Sn所以OA10=10

n 2（2）因为OA1=1，OA2=2，OA3=3…，

（3）S1+ S2+ S3+…+ S10 =(2222

1223102)()2()2() 22221=(12310) 4=

55. 49.根据以下10个乘积，回答问题：

11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20.

(1)试将以上各乘积分别写成一个“□-○”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；

(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； (3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明) 【答案】

(1)11×29=20-9；12×28=20-8；

2

2

2

2

2

2

13×27=20-7；14×26=20-6； 15×25=20-5；16×24=20-4； 17×23=20-3；18×22=20-2； 19×21=20-1；20×20=20-0； 例如：11×29；假设11×29=□-○； 因为□-○=(□+○)(□-○) 所以，可以令□-○=11，□+○=29 解得，□=20，○=9，故11×29=20-9 (或11×29=(20-9)(20+9)=20-9) (2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：

11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20. (3)①若a+b=40,a,b是自然数，则ab≤20=400. ②若a+b=40，则ab≤20=400.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

③若a+b=m，a，b是自然数，则

④若a+b=m，则

⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|， 则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.

⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|， 则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.

10、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_________．

【答案】：50

【解析】：仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；

第一个数是1，第二个数数1+1，第三个数是1+1+3，第四个数是1+1+3+5，第五个数是1+1+3+5+7，第六个数是1+1+3+5+7+9，

为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数1也写成两个数的和的形式，为1+0， 这样，就发现数字1是固定不变的，规律就蕴藏在新数列0，1，4，9，16 中，而0，1，4，9，16 这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与

1的差，即1=1+（1-1），2=1+（2-1），5=1+（3-1），10=1+（4-1），17=1+（5-1），

26=1+（5-1），这样，第n个数为1+（n-1），找到数列变化的一般规律后，就很容易求得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当n=8时，代数式1+（n-1）的值，此时，代数式1+（n-1）的值为1+（8-1）=50。所以，本空填50。

11.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为_________.

【答案】：199

【解析】：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一试。

当序号为1时，对应的值是1，有序号和对应的数值构成的点设为A， 则A（1，1）；

当序号为2时，对应的值是3，有序号和对应的数值构成的点设为B， 则B（2，3）；

当序号为3时，对应的值是6，有序号和对应的数值构成的点设为C， 则C（3，6）； 因为，

2

2

2

2

2

22222

31633163成立，所以，对应的数值y是序2，3，所以有：213221322

2

号n的二次函数，因此，我们不妨设y=an+bn+c，

把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分别代入y=an+bn+c中，

11，b=，c=0， 22121121所以，y= n+n，因此，当n=100时，y= ×100+×100， 2222111212121当n=98时，y= ×98+×98，因此（×100+×100）-（×98+×98）=199，222222得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=所以该空应该填199。

12、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比 赛．如图所示：

按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）

A．【答案】：A 【解析】：

B． C． D．

第一个图需要火柴的根数是8，有序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，8）； 第二个图需要火柴的根数是14，有序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，14）； 第三个图需要火柴的根数是20，有序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，20）； 因为，

14820141482014成立，所以，每个图形6，6，所以有：21322132中所需要的火柴的总根数y是这个图形的序号n的一次函数，因此，我们不妨设y=kn+b，

把A（1，8），B（2，14）分别代入y=kn+b中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2， 所以，y=6n+2。因此选A。

13、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。

【答案】：50 【解析】：

仔细观察第一个图，正方形的个数为1，第二个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1+3+1个，第三个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1+3个，即为1+3+5+3+1，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中正方形的个数为1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n-2n+1，这样，第5个图形中正方形的个数，也就是当n=5时，代数式2n-2n+1的值，所以，代数式的值为：2n-2n+1=2×5-2×5+1=41个。所以，本空填50。

14、按如下规律摆放三角形：

2

2

2

2

则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.

【答案】：14,3n+2 【解析】：

仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间3=(1+2)个,左右各1个,即图1中三角形的总数为1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是4=(2+2)个，左右两边各2个，即为2+(2+2)+2个，第三个图形中三角形的特点是中间是5=(3+2)个，左右分别是3个，即为3+(3+2)+3，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中三角形的个数为n+（n+2）+n =3n+2，这样，第4个图形中三角形正方形的个数，也就是当n=4时，代数式3n+2的值，所以，代数式的值为：3n+2=3×4+2=14个。所以，本题的两个空分别填14和3n+2。

15、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有 个。

1

2

3

…

…

n

【答案】：2n+1 【解析】：

仔细观察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有3个菱形，第三个图形中有5个菱形，………仔细观察这些数的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的规律了。所以，第n个图形中有2n+1个菱形。

16、试观察下列各式的规律，然后填空：

……

则

【答案】：x1

【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。

仔细观察式子，不难发现等式左边中的（x-1）是个固定不变的量。左边式子中第二个括号中多项式的次数是不断变化的，且多项式的次数等于对应等式的序号数，即第一个等式中的多项式的次数是1，第二个等式中的多项式的次数为2， 所以，第n个等式中的多项式的次数为n，这是等式左边的变化规律；

等式右边的规律，容易找些，多项式中的常数项是保持不变的，字母x的指数随等式的序号变化而变化，且满足字母x的指数等于等式的序号加1。所以，第10个等式的结果为

11_______________。

x111。

17、观察下列各式：

……依此规律，第n个等式（n为正整数）为 。 【答案】：（10n+5）=n（n+1）×100+5。

【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。

等式左边底数的特点是，个位数字都5，是个不变的量，十位数字与对应的序号一致，分别是1、2、3、4…………；

等式右边的特点是：第一个数字与对应的序号是一致的，括号里的数字的特点是对应的序号与常数1的和；第三个数字又是一个固定的常数100；第四个数字是常数5的平方，也是固定不变的。

通过分析，我们知道在这里对应的序号是问题的根本。而第n个等式的序号为n，所以第n个等式应该是：（10n+5）=n（n+1）×100+5。

2

2

2

2

18、观察下列等式： 第一行 3=4－1 第二行 5=9－4 第三行 7=16－9 第四行 9=25－16

… … 按照上述规律，第n行的等式为____________ 【答案】：2n+1=（n+1）- n。 【解析】：

等式的左边的特点是：奇数3、5、7、9 …，

这些奇数可以用对应的序号表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1， 其中1、2、3、4等恰好是对应的序号，所以，第n 个奇数为2n+1，这样，我们就把等式左边的规律找出来了；

等式右边的特点是：被减数为4、9、16、25、…恰好是2，3，4，5，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律，

第n 个被减数为（n+1）；

减数分别为1、4、9、16…恰好是1，2，3，4，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号，这样，我们就又找到了一部分规律，第n 个减数为n；

所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1）- n。 19、观察下列各式：

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来 。 【答案】：n11=( n+1 )。 n2n2【解析】：仔细观察我们发现，等式的左边的特点是：

被开方数中，第一个加数分别是1、2、3、………等的自然数，第二个加数是一个分数，且分子都是1，是固定不变的，这就是一条规律；分母分别是3、4、5、6………，这些数与第一个加数的关系是：分母=第一个加数+2，这是第二规律；

等式的右边的特点是：二次根式的系数分别是2、3、4、5、………，这些数与左边的

被开方数中的第一个加数的关系是：二次根式系数=左边的被开方数中的第一个加数+1，这是右边的第一个规律；而被开方数也是一个分数，且分子是1，保持不变，这是一条规律，分数中的分母与左边分数中分母一样。这是第二条规律。这样的话，因为，第n个等式中的第一个加数为n，所以，第n个等式为：n1

2

3

4

5

11=( n+1 )。 n2n220、已知：2=2，2=4，2=8，2=16、2=32，…………………， 仔细观察，式子的特点，根据你发现的规律，则2A 2 B 4 C 6 D 8 【答案】：C 【解析】：

仔细观察，不难发现，当幂的指数能被4整除时，这个数的个位数字是6，当被4除，余数是3时，这个数的个位数字为8，当被4除，余数是2时，这个数的个位数字为4，当被4除，余数是1时，这个数的个位数字为2， 所以，问题解决的关键，就是看幂的指数被4除的情形就可了。我们知道2008是能被4整除的，所以，2

所以，选C。

2008

2008

的个位数字是：

的个位数字是6，