滚动训练(三)
一、选择题
1．下列说法错误的是( )
A．对分类变量X与Y，随机变量K的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
^
^
2
B．在线性回归方程y＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.2个单位
C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 D．回归直线过样本点的中心(x，y) 考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的概念 答案 A
解析 对于选项A，对分类变量X与Y的随机变量K的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的可信程度越大，因此不正确；
^
2
对于选项B，在线性回归方程y＝0.2x＋0.8中，当x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，正确；
对于选项C，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，正确； 对于选项D，回归直线过样本点的中心(x，y)，正确． 综上可知：只有A不正确．故选A.
2．已知复数z＝(a－4)＋(a＋2)i(a∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 D
a－4＝0，2
解析 复数z＝(a－4)＋(a＋2)i(a∈R)为纯虚数等价于
a＋2≠0，
2
2
解得a＝2，故“a＝
1
2”是“z为纯虚数”的充要条件，故选D.
3．已知复数f(n)＝i(n∈N)，则集合{z|z＝f(n)}中元素的个数是( ) A．4B．3C．2D．无数 考点 虚数单位i及其性质 题点 虚数单位i的运算性质 答案 A
解析 结合虚数单位i的性质，得i＝1，i
4n4n＋1
n*
＝i，i
4n＋2
＝－1，i
4n＋3
＝－i，则集合{z|z＝
f(n)}中含有4个元素，故选A.
4．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋y的值为( ) A．1B.2C.3D．2 考点 复数相等 题点 复数相等的条件 答案 D
解析 依据复数相等的条件，得x＝y＝1，故x＋y＝2，故选D.
5．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i的实部为虚部的新复数是( ) A．2－2i C．2＋i 考点 复数相等 题点 复数相等的条件 答案 A
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知，复数－5＋2i的虚部为2；复数5i＋2i＝5i＋2×(－1)＝－2＋5i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A. 6．设复数z＝(2t＋5t－3)＋(t＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( ) A．复数z对应的点在第一象限 B．复数z一定不是纯虚数 C．复数z对应的点在实轴上方 D．复数z一定是实数 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 C
解析 ∵2t＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t＋5t－3的值可正可负可为零，∴A，B不正确．又∵t＋2t＋2＝(t＋1)＋1>0，∴D不正确，∴C正确． 7．若复数z＝(x－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B．－5＋5i D.5＋5i
2
A．－1 C．1
考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 A
B．0 D．－1或1
x－1＝0，
解析 由复数z＝(x－1)＋(x－1)i为纯虚数得
x－1≠0，
2
2
解得x＝－1.
2
8．已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1008和a1009是方程x－2017x－2018＝0的两根，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是( ) A．1008 C．2016
考点 合情推理与演绎推理 题点 合情推理与演绎推理 答案 C
解析 依题意知a1 008＋a1 009＝2 017>0，
B．1009 D．2017
a1 008a1 009＝－2 018<0，
∵数列的首项为正数，∴a1 008>0，a1 009<0， a1＋a2 016×2 016
∴S2 016＝
2＝
a1 008＋a1 009×2 016
>0，
2
a1＋a2 017×2 017
＝a1 009×2 017<0，
2
S2 017＝
∴使Sn>0成立的正整数n的最大值是2 016，故选C. 二、填空题
1
9．复数z＝log13＋ilog3对应的点位于复平面内的第________象限．
2
2考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 三
1
解析 ∵log13<0，log3<0，
2
21
∴z＝log13＋ilog3对应的点位于复平面内的第三象限．
2
210．设z1＝－3－4i，z2＝(n－3m－1)＋(n－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝_____，n＝______.
3
22
考点 复数相等 题点 复数相等的条件 答案 2 ±2
－3＝n－3m－1，
解析 由z1＝z2得2
－4＝n－m－6，m＝2，
解得
n＝±2.
2
11．给出下列命题：
①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．
则其中正确命题的个数为________． 考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数 答案 1
解析 因为实数是复数，故①错；②正确；
因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错； 因为－1的平方根为±i，故④错．故答案为1. 三、解答题
12．设复数z＝lg(m－2m－2)＋(m＋3m＋2)i (1)当m为何值时，z是实数； (2)当m为何值时，z是纯虚数． 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类
解 (1)要使复数z为实数，需满足
m－2m－2>0，2m＋3m＋2＝0，
2
2
2
解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数． (2)使复数z为纯虚数，需满足
m－2m－2＝1，2m＋3m＋2≠0，
2
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
13．已知数列{an}，其前n项和Sn＝－3n，{bn}为单调递增的等比数列，b1b2b3＝512，a1＋b1
4
2
＝a3＋b3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cbn2
n＝b，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1.
n－2bn－13
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决数列问题 (1)解 当n＝1时，a1＝S1＝－3，
当n≥2时，a2
2
n＝Sn－Sn－1＝－3n－[－3(n－1)] ＝－6n＋3，
当n＝1时，也满足an＝－6n＋3，∴an＝－6n＋3， ∵数列{bn}为等比数列， ∴b2
1b3＝b2， 设{bn}的公比为q，
∴b31b2b3＝b2＝512，∴b2＝8， 又∵a1＋b1＝a3＋b3，
∴－3＋8q＝－15＋8q，∴q＝2或q＝－1
2(舍去)，
∴b－2n＝b2qn＝2
n＋1
.
n＋1
(2)证明 由(1)可得，c2
n＝2n＋1－22n＋1
－1 n＝211
2n－12n＋1－1＝2n－1－2n＋1－1， ∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝
12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋112n－1－2n＋1－1
＝1－12n＋1
－1<1，显然数列{Tn}是递增数列， ∴T22
n≥T1＝3，即3≤Tn<1.
四、探究与拓展
14．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A．2kπ－π
4(k∈Z)
B．2kπ＋π
4
(k∈Z)
C．2kπ±π
4(k∈Z)
D.k2π＋π
4
(k∈Z) 考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
5
答案 B
sin2θ－1＝0，
解析 由题意，得
2cosθ＋1≠0，
π
θ＝kπ＋，4解得3π
θ≠2kπ±4
(k∈Z)，
π
∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
4
15．设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形． (1)|z|＝2； (2)1≤|z|≤2.
考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹图形问题
解 (1)方法一 |z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．
方法二 设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a＋b＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．
2
2
|z|≤2，
(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组
|z|≥1.
不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合． 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合．
这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．
6
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