福建省莆田一中2014年高考考前模拟数学理试题

2014 届莆田一中高三考前模拟试卷2014-5-24

理科数学

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据x1，x2，，xn的标准差 2xnx 锥体体积公式： s122x1xx2xn1VSh 其中S为底面面积，h为高 3球的表面积、体积公式 其中x为样本平均数 柱体体积公式 VSh 其中S为底面面积，h为高 S4R2，V43R 3其中R为球的半径 第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1.如图，在复平面内，复数Z1,Z2对应的向量分别是OA,OB, 则|Z1Z2|=（ ）

A．2 B.3 C.22 D. 33 2．抛物线y4x的焦点坐标为 ( ) A．(0,1)

B．(1,0)

C． (0,211) D． (,0) 16163．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形， 则该几何体的体积为（ ） A.

2216 B. C. D. 33994. 设随机变量服从正态分布N(3,4), 若P(2a3)P(a2),则a( )

57 C．5 D． 33x5. 设函数f(x)log2，等比数列an中，a2a5a88，则

4A．3 B．

f(a1)f(a2)...f(a9)（ ）

A. -9 B. -8 C. -7 D. -10

1

6． 若函数f(x)x2xa，则使得“函数yf(x)在区间(1,1)内有零点”成立的一个必要非充分条件是（ ）

111a2. (B)a2. (C)0a2. (D)a0. 44437.设P为曲线yx上任一点，F1(5,0),F2(5,0)，则下列命题正确的是：（ ）

4(A)A.PF1PF28 B.PF1PF28 8．在高校自主招生中，某校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 ( )

A．20 B.22 C.24 D. 36

9．已知a,b,c均为单位向量，且满足ab0，则(abc)(ac)的最大值为（ ）

C.PF1PF28 D.PF1PF28A.123B.322C.25D.222 2x1(x0)10.已知函数f(x)，把函数g(x)f(x)x的零点按从小到大的顺序排列

f(x1)1(x0)成一个数列，则该数列的通项公式为 ( )

n(n1)A．an B．ann(n1)(nN*) (nN*)

2C．ann1(nN*)

D．an2n2(nN*)

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 把函数 ysin(2x象。

12.已知(1)a0a1

13．利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a,b，则方程

有实数根的概率是___ ．

14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)0，且当x0时,xf'(x)f(x),则不等式f(x)0的解集为____.

15. 如图，A是两条平行直线之间的一定点，且点A到两条平行直线的距离分别为AM1,AN3。设ABC,ACAB,且顶点B、C分别在两条 平行直线上运动，则ABC面积的最小值为_____,为_______.

3)的图象向____平移 ____个单位长度就可得到函数y=sin2x的图

2x41111a2()2a3()3a4()4,则a2a4___ ． xxxxb2ax x13的最大值 ABAC2

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答要写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16 .(本小题满分13）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，

(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；

(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；

(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.

3

17．（本小题满分13分）

如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，

H为PC的中点，M为AH的中点，PAAC2，BC1.

（Ⅰ）求证：AH平面PBC； （Ⅱ）求PM与平面AHB成角的正弦值； （Ⅲ）设点N在线段PB上，且

PN，MN//平面ABC， 求实数的值.

PB4

18. (本小题满分13分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t（秒）的变化规律大致可用y(14sin2t2t)x20(sin)x（t为时间参数，x的单位：m）6060来描述，其中地面可作为x轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y轴。 （Ⅰ）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；

（Ⅱ）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

5

19．(本小题满分13分)

2x2y2255)在椭圆C上. 已知椭圆C:221( ab0)的离心率为,点(1,5ab5(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 在x轴上是否存在一定点E，使得对椭圆C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分14分）

x已知f(x)=e-t(x+1).

(Ⅰ)若f(x)≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围； (Ⅱ)设gxfx1EA21EB2

t，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)上任意两点，ex若对任意的t≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；

nnnn（Ⅲ）求证：12n1≤n(n∈N*).

6

21．（本题满分14分）

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选两题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA'B'C'，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵。 (Ⅰ)求(MN)1；(Ⅱ)判断矩阵MN是否存在特征值。

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

x2cos 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

y22sin（为参数）,M是C1上的动点，P点满足(Ⅰ)求C2的方程；

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

已知关于x的不等式：2xm1的整数解有且仅有一个值为2. （Ⅰ）求整数m的值;

（Ⅱ）已知a,b,cR，若4a4b4cm，求abc的最大值

444222OP2OM,P点的轨迹为曲线C2，

与C1的异于极点的37

2014届莆田一中高三理科数学模拟试卷参考答案及评分参考

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)

1. A 2. C 3. D 4. D 5. A 6. A 7. D 8. C 9. C 10. C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．左，

6 12.40 13．P1. 14. x|x1,或1x0 15.3,2 3三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

解: （Ⅰ） „„„3分

（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨.„„„6分

（Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是

4， 5153则X~B(3,)，P(X0)()1121412，P(X1)C3() 1255512541484364P(X2)C32()2()， P(X3)()„„„„„9分

551255125X P 0 1 2 3 45分布列为

1 12512 12548 12564 125„11分 答：人数x均值为 .………………13分 412E(X)3 5517．（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为 PA底面ABC，BC底面ABC，

所以 PABC， „„„„ 1分

又因为 ACBC， PAACA， 所以 BC平面PAC，„„„„ 2分 又因为 AH平面PAC， 所以 BCAH. „„„ 3分 因为 PAAC，H是PC中点，所以 AHPC，

BCC，所以 AH平面PBC. „„„„„ 5分

（Ⅱ）解：在平面ABC中，过点A作AD//BC，因为 BC平面PAC，所以 AD平面PAC，

由 PA底面ABC，得PA，AC，AD两两垂直， 所以以A为原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴，

y轴，z轴如图建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，P(0,0,2)，

又因为 PC11B(1,2,0)，C(0,2,0)，H(0,1,1)，M(0,,)

22

8

设平面AHB的法向量为n(x,y,z)， 因为 AH(0,1,1)，AB(1,2,0)，

nAH0, 得 由 nAB0,yz0, 令z1，得n(2,1,1).„„„„ 7分 x2y0,设PM与平面AHB成角为， 因为

13PM(0,,)，

221320(1)1()PMn22， 所以 sincosPM,n5PMn62即 sin215. „„ 9分 15（Ⅲ）解：因为 PB(1,2,2)，PNPB， 所以 PN(,2,2)，

又因为 PM(0,,)，所以 MNPNPM(,2分

因为 MN//平面ABC，平面ABC的法向量AP(0,0,2)， 所以 MNAP340， 解得 

123213,2). „ 11223

. „„„ 13分 4

2060

ttt14sin2sin14sin606060ttt(0,1)，故sin14sin4， 因t(0,60)时，sin606060t1，即当t10或50时，x有最大值5， 从而当sin602所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是5m； „„6分

18.【解析】：（1）当y0时， x（2）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位

22于喷水区域的边界，依题意得：()()25，（x0,y0）

20sintx4y2x2y2100的条件下，求Sxy的最大值。 „8分 问题转化为在x0,y0，4x2xxx22Sxy2y()y100，由y和y2100及x0,y0得：法一：

2224x102,y52 Smax100 „„„12分

9

x2y2100， 法二：∵x0,y0，4x2x212Sxyx100=x(100)(x2200)210000

444∴当x200，即x102，Smax2x2100，由y2100可解得：y52。

4答：花坛的长为102m，宽为52m，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求。 „„„„„13分

x2y2b21219.解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为221(ab0)， 21e①

aba5

点(1,

314)在椭圆C上, 221② , 2a5b22x2y21， „„„„„„ 4分 由①②得:a5,b1 ， 椭圆C的方程为5(Ⅱ)设Ex0,0，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，CD，

211 2222222xECEDECED5x015x01053030解得x0，∴E若存在必为,定值为6. „„„6′ ,033303030下证满足题意。 设过点E的直线方程为，代入C中得: ,0,0xty333则

1111，即

2305ty0，设Ax1,y1、Bx2,y2， 3352030tyy则y1y2，„„„8′ 12223t53t5t25y21EA21EB211ty22111ty22211 222yy1t12111t2y12y221y1y22y1y2 22y12y221ty1y22230t3t2511t23523t2530.„„„12分 同理可得E,062也满足题意。 35t252 综上得定点为E

11306. „13分 ，定值为 ,0223EAEB10

ex20.（1）fx≥0t≤(x>0)恒成立。

x1xexex≥0 设px(x≥0)，则px2x1x1 ∴px在x时单调递增，px≥p01（x=1时取等号）， ∴t≤1 „„„4分

（2）设x1、x2是任意的两实数，且x1gx2gx1x2x1m，故gx2mx2gx1mx1

设Fxgxmx，则F(x)在R上单调递增， „„„7分 即Fxgxm0恒成立。

即对任意的t≤-1，x∈R，mgx恒成立。

2txt≥2ett2tt1≥3 exex故m<3 „„„9分

而gxext（3）由（1）知，x1≤exex11,x≤ex1

nn1kkekkn 取x(k1,2,,n1)，则≤en.

nenn1nn1n1ke1e1ee111k ≤nneene11

n1ee1eek1k1nn1n1k 1,knnn

k1nk1 ∴1n2nn1≤nn(n∈N*) „„„14分

n11

21. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

ab，则A(2,0)变为A'(0,2);B(2,1)变为B'(1,3);

cda0b1ab20ab21 故 所以， ;;cd02cd13c1d1解：（Ⅰ）设M1201200301201M，N，MN110323,(MN)1110333 （Ⅱ）因为矩阵MN的特征多项式f()236

23 f()2360的判别式小于0，故矩阵MN不存在特征值。 （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 （I）设P(x,y),则由条件知M(

12, 0xy,).由于M点在C1上，所以 22x2cosx4cosx4cos2 即从而C2的参数方程为（为参数） y44siny44siny22sin2 （Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为8sin.

射线与C1的交点A的极径为14sin，

33射线与C2的交点B的极径为28sin.所以|AB||21|23. 33

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 （ I ）由|2xm|1，得

m1m1x 22m1m13m5 2 不等式的整数解为2， 22 又不等式仅有一个整数解2， m4 ……3分

444 （Ⅱ）显然abc1

2222222222222 由柯西不等式可知： (abc)(111)[(a)(b)(c)]

2222222 所以(abc)3即abc3

当且仅当abc2223时取等号，最大值为3 ………7分 3

12